本文主要摘录自CFA定量投资分析一书,如果文中一些概念没有进一步讨论,请查阅此书。

货币的时间价值

我们进行投资的时候,往往会面临处理一系列不同时间点的现金流的处理。人们认为对于给定一笔数量的钱,越早收到,其价值越高。因此,可以判定一定数量的货币,在不同时间点,其价值是不同的,一般来说,时间点越早的货币价值越高。可以说,货币具有时间价值

根据货币的时间价值这一原理,通过建立各个时间点上不同现金流之间的等价关系,就可以系统的处理投资分析中遇到的此类问题。

利率的经济学解释

货币的时间价值考察了不同时间点的现金流之间的换算关系。考虑一笔交易:今天你支付10000元,一年后还给你9500元,你肯定不会同意这一笔交易;如果反过来,今天支付9500元,一年后归还10000元,则你有可能会同意。由此可见,这种情况你认为一年后的10000元与当前的9500元是等价的,即把一年后的10000元贴现为当前的9500元是合理的。利率,是一种收益率,反映了不同日期发生的现金流之间的关系。

利率是收益率

利率是贴现率

利率是机会成本

利率的组成

$$利率=实际无风险利率+通货膨胀风险溢价+违约风险溢价+流动性风险溢价+到期日风险溢价$$

实际无风险利率,指在没有通货膨胀的情况下,完全无风险证券的单期利率。

通货膨胀风险溢价,指对投资者所面临的预期通货膨胀的补偿。

名义无风险利率,指实际无风险利率与通货膨胀风险溢价只和。

违约风险溢价,由于存在借款人未实现承诺支付的可能性而给予投资者的补偿。

流动性风险溢价,由于投资需要快速变现的情况下,相对于投资公允价值可能造成的损失的补偿。

到期日风险溢价,在同等条件下,到期日越长的债券其价格相对于市场利率的敏感性增加,为此给予投资者以补偿。

单笔现金流的将来值

现在考虑单笔现金流的情况,即一次性投资相关的时间价值问题。我们把初始投资额称做现值(PV),将来收到的回报为将来值(FV)。投资的收益率用r表示。

$PV$表示投资的现值

$FV_N$表示投资在$N$期以后的将来值

$r$表示每期的利率

对于$N=1$的情况下,现值$PV$的将来值表达式为

$$ FV_{1} =PV(1+r) $$

假设你存了100元到一个每年支付5%的银行账户,那么一年以后,你的账户的将来值是

$$ FV_{1} =100\times (1+0.05)=105元 $$

考虑这一笔投资投资两年的情况,其第一年的利息将继续存入账户。在第一年年末,你的账户将会拥有105元,这些钱将继续在你的银行账户中投资一年。于是第二年年末,将来值将变成 $$ FV_{2} =FV_1 \times (1+0.05)=110.25元 $$ 我们把这一笔将来值进行拆分

原始投资 ¥100.00
第1年的利息 5.00
基于原始投资的第2年利息 5.00
基于原始投资利息的第2年利息 0.25
总计 ¥110.25

基于原始投资在每期获得的5元利息被称为单利(本金乘以利率),本金是最初投资的金额。由利息再投资产生的利息被称作复利。由上述分析可以给出一般性的现值与将来值之间的公式

$$ FV_N =PV(1+r)^N $$ 其中$r$表示每期利率,$N$表示复利的期数。由此可见,利率和期数必须匹配相同的时间单位。

现金流可加性原理

根据现值和将来值在时间上的不同,可以得出如下重要结论:

我们只能同一时间点的货币金额进行加总

给定利率,将来值会随着期间数的增加而增加

给定期数,将来值会随着利率的增加而增加

其中,第一点即现金流可加性原理,表示了怎样才可以把现金流累加起来。

复利的频数

我们之前讨论,利率一般需要确定具体的时间单位,例如:年利率、月利率、日利率。金融机构通常会以名义年利率来报价,因此就要涉及到不同周期的利率之间的换算问题。若给出的年利率是按月来进行结算的,那么 $$ 月利率=名义年利率/12 $$

一般地,对一个名义利率进行若干次复利计算,之前的现值公式将修改成 $$ FV_N=PV(1+\frac{r_s}{m})^{mN} $$ 其中,$r_s$为名义年利率,$m$为每年复利的次数,$N$为年数。

连续复利

上述公式,当$m$趋于无穷大的时候,即一年内进行无限次的复利计算,上述公式在数学上会收敛 $$ FV_N=PV e^{r_sN} $$

比较一下,复利频次对将来值的影响,以$8%$的年利率报价,初始投资为1元,分别按照不同的周期进行复利计息:

频率 $r_s/m$ $mN$ 1元的将来值
年度 8% 1 ¥1.08
半年度 4% 2 ¥1.081600
季度 2% 4 ¥1.082432
月度 0.6667% 12 ¥1.083000
0.0219% 365 ¥1.083278
连续复利 $\infty$ ¥1.083287

从这一结果我们可以发现,名义年利率根据不同的复利频率其在一年以后真实得到的收益率是不同的,我们把真实的收益率叫做有效年利率,其定义为 $$ 有效年利率=(1+期间利率)^m-1 $$

对应的,上述按季度复利的情况,其有效年利率为8.24%。对于连续复利的情形,有效年利率简化为 $$ 有效年利率=e^{r_s}-1 $$

现金流序列的将来值

现金流序列一般包括等额和不等额两种类型,常见的现金流序列有:

年金,一组有限的等额现金流序列

普通年金,指首笔现金流发生在一个期间段之后的年金

预付年金,指首笔现金流在当前时刻发生的年金

永续年金,指无期限的年金

现金流序列的将来值举例: 普通年金

考虑一笔每年以$r$利率支付的普通年金,我们把年金支付额记作$A$,支付期数记作$N$,那么普通年金将来值公式为 $$ FV_N = A \sum_{i=0}^{N-1} (1+r)^i = A \left[\frac{(1+r)^N-1}{r}\right]=A \times factor $$ 其中$factor$称之为年金因子。

假设年金每期支付额$A=1000元$,每期利率为5%,总计支付5次,年金因子为$(1.05^5-1)/0.05=5.525631$,该年金的将来值为$1000\times 5.525361=5525.63元$。

不等额现金流序列的将来值

不等额现金流的将来值只需要把普通年金公式进行一般化即可,其中每期支付额变为$A_i$,因而 $$ FV_N = \sum_{i=0}^{N-1} A_i (1+r)^i $$

单笔现金流的现值

根据前面的描述,计算单笔现金流的现值,只需要把之前的公式变换一下,得到 $$ FV_N=PV(1+r)^N $$ $$ PV=\frac{FV_N}{(1+r)^N} $$

考虑复利频数的情况,上述公式修改成 $$ PV=FV_N\left(1+\frac{r_s}{m}\right)^{-mN} $$

现金流序列的现值

类似的,普通年金的现值公式改成 $$ PV=A\left[\frac{1-\frac{1}{(1+r)^N}}{r}\right] $$

永续年金的现值

永续年金是无期限的普通年金,其中期数$N$趋于无穷,因此根据上述现值公式 $$ PV=\lim_{N\to\infty}A\left[\frac{1-\frac{1}{(1+r)^N}}{r}\right]=\frac{A}{r} $$ 上述公式要求利率始终为正。

英国政府曾经发行过一种叫做统一公债的证券,其承诺无限期的支付等额现金流。假设统一公债每年支付100英镑,那么如果要求回报率为5%,则该证券今天的价值是$PV=A/r=100/0.05=2000英镑$。

货币的时间价值:应用

前面讨论的关于货币的时间价值的基础内容,借助净现值和内部收益率等工具,可以用来评估现金流序列的价值、投资组合的收益率以及计算货币市场收益率等问题。

净现值和内部收益率

净现值和内部收益率的应用范围可以覆盖整个金融领域,我们可以在许多情形下对它们进行讨论。作为评估工具,它们可以对不同的投资方向进行筛选。

净现值(NPV)给出了一种评估某项投资的价值的方式,其定义为,所有现金流入的现值减去所有现金流出的现值。净现值准则则提供了用来在不同的投资项目中进行选择的一种方法。

一般计算净现值和应用净现值准则的步骤如下:

  1. 识别与投资项目相关的所有净现值
  2. 为投资项目确定适当的贴现率或机会成本$r$
  3. 使用第二步确定的贴现率,计算出每笔现金流的现值
  4. 将所有求的的现值加总,该和即为净现值
  5. 应用净现值规则:若投资项目的净现值为正,则该项目应该投资;若投资项目的净现值为负,则不值得投资。如果投资者是对两个投资项目选择其中一个进行投资,则选择净现值高的项目。

根据上述讨论,净现值公式表示为 $$ NPV=\sum_{t=0}^{N}\frac{CF_t}{(1+r)^t} $$ 其中,$CF_t$表示在$t$时刻的期望净现金流;$N$表示投资项目的期限;$r$表示贴现率或者资本的机会成本。

考察一个初始投资$CF_0=-2000000元$的项目,预期在未来三年分别获得一系列正的现金流,分别为$CF_1=500000元$,$CF_2=750000元$,$CF_3=1350000元$。假设我们使用10%的贴现率,那么该项目的净现值为 $$ \begin{split} NPV &= - 2 + \frac{0.50}{1.10} + \frac{0.75}{1.10^2} + \frac{1.35}{1.10^3} \
&= - 2 + 0.454545 + 0.619835 + 1.014275 \
&= 0.088655 百万元 \end{split} $$ 由于净现值88655元为正,根据净现值准则,该项目值得投资。

内部收益率(IRR)是使得项目净现值为零的贴现率,该贴现率使得投资成本的现值和投资收益的现值相等。这个收益率称为内部的原因是它的计算只依赖于项目本身的现金流,并不需要其他外部数据。我们可以把IRR应用到由一系列现金流表示的投资项目中去。

内部收益率公式如下 $$ NPV = \sum_{i=0}^{N} \frac{CF_i}{(1+IRR)^i}=0 $$

对于一些简单的项目,在0时点现金流$CF_0$为该笔投资的支出,而之后的现金流均为正。这种情况,我们可以改写上述公式 $$ 投资额=\sum_{i=1}^{N} \frac{CF_i}{(1+IRR)^i} $$

使用IRR进行投资决策的准则,叫做内部收益率准则,即接受那些IIR高于资本机会成本的项目或投资。

内部收益率准则相关的问题

内部收益率准则和净现值准则对投资项目进行比较的时候,并不一定能得出相同的结果:

  • 当项目的投资规模不同的时候
  • 当项目的现金流序列发生的时间点不同的时候

当两个准则产生冲突的时候,我们应该使用净现值准则。

投资组合收益的度量

作为一个投资者,需要以逻辑的和一致的方法来评估投资收益率,这一工作叫做业绩度量持有期回报率适用于对投资组合收益率进行业绩度量,其定义为投资者在一个特定的时间期间所获得的收益。对于只在持有期期末发生支付的投资来讲,持有期回报率公式如下: $$ HPR=(P_1-P_0+D_1)/P_0 $$ 其中,$P_0$为初始投资,$P_1$为持有期期末价格,$D_1$为持有期期末投资支付的现金。$P_1+D_1$为持有期期末获得的现金流入。

货币加权收益率

在投资管理的应用中,内部收益率被称作货币加权收益率,它解释了所有现金流流入和流出的时间和数量。

时间 支出
0 ¥200 购买第一股
1 ¥225 购买第二股
收入
1 由第一股投资获得¥5红利(不再做投资)
2 收到的¥10红利(¥5每股,2股)
2 在¥235卖出两股所获得的¥470

考虑以上表格所给出的投资组合,其货币加权收益率是该投资组合的两年的内部收益率。我们有 $$ PV(现金流出)=PV(现金流入) \
200 + 225/(1+r)=5/(1+r) + 480/(1+r)^2 $$ 其解为9.39%。考察第一期持有期回报率$(5+225-200)/200=15%$,第二期的持有期回报率为$(10+470-450)/200=6.67%$。平均持有期收益率为$(15%+6.67%)/2=10.84%$。而我们得到的货币加权收益率为$9.39%$,其权重偏向于第二期较差的业绩上,因为第二期比第一期投资了更多的资金。从这种意义上讲,内部收益率的业绩表现算法被认为是货币加权的。

时间加权收益率

在投资过程中对资金的投入和提取影响不敏感的投资度量指标是时间加权收益率,其度量了投资组合中初始的$¥1$投资在所确定的考察期内的复利增长率情况。时间加权的含义是收益率在时间上进行平均,其算法的一般步骤如下

  1. 在任何显著的增加投资或提取资金之前立即给出资产组合的价格。根据现金流入和流出的发生时间,将总的评估期分成几个子期间。
  2. 计算每个子期间中的投资组合的持有期回报率。
  3. 将持有期回报率相互联系或者其进行复利以得到该年的年收益率。如果投资不止一年,对收益率采用几何平均的方法得到在度量期间上的时间加权收益率。

基于这一方法,前一节的例子中,我们已经算出了两期的持有期回报率,可以直接进行第三步,根据几何平均的方法得到两期的平均加权收益率 $$ \begin{split} (1+时间加权收益率)^2 &= (1.15)(1.0667) \
时间加权收益率 &= \sqrt{(1.15)(1.0667)}-1 = 10.76% \end{split} $$ 对比前一节的货币加权收益率,其将更多的权重放在第二期的收益上。

时间加权收益率的评估应当排除任何对资金的投入或提取的影响,当投资组合中现金流的活动数量很大时,这项工作将是很困难的。一般会通过某个频率或固定期间来对时间加权收益率做一个合理的估计。估值频率越高,则结果越精确。通常采用的是按日估值,例如基金。首先计算每日的持有期回报率 $$ r_t=\frac{MVE_t-MVB_t}{MVB_t} $$ 其中$MVB_t$是$t$时间的开盘价,$MVE_t$是$t$时间的收盘价。一年的时间加权收益率,可以通过$\prod_{i=1}^{365}(1+r_i)-1$得到。

准确的度量投资组合中的收益率对于评估投资组合的业绩表现是很重要的,但是收益率并没有体现投资的风险。